Кроме элементарных математических функций вроде тригонометрических, экспоненты, логарифма и т. п., существуют и широко применяются в физике так называемые специальные функции. С некоторыми вы, возможно, уже как-то знакомы, с другими познакомитесь позже. Запрос об этих функциях: ?inifcns. Графики позволят увидеть их реальный вид.

Эти функции появляются в задачах электромагнетизма и квантовой механики, где используются сферические координаты. Они обозначаются: Pn (x) и являются просто полиномом от х. В интервале [–1,1] они обладают очень необычными свойствами:

1. Для нечетных значений целочисленного индекса n полиномы Лежандра нечетны, а для четного n – четны.
2. Pn (1) = 1 и Pn (–1) = (–1)n.
3. При росте n они все больше и больше осциллируют, но в интервале (–1,1) их амплитуды не превышают 1.

Задача 2.3
Нарисуйте восемь первых полиномов Лежандра один над другим с помощью команды plot.

Можно написать все 8 внутри команды, а можно применить последовательность seq. Пример: сгенерируем последовательность функций xn для n = 1..8:

• seq(x^n,n=1..8);

Так же можно сделать и для P(n,x) в команде plot:

• with(orthopoly);
• seq(P(n,x),n=0..8);

Поставьте правильно эту последовательность в команду plot, чтобы появлялись все функции от n = 0 до n = 8:

• plot(................,x=-1..1);

Гамма-функция – это аналитическое продолжение на действительные числа функции факториала целых чисел. Связь записывается так:

Г(n + 1) = n!.

Г-функция применяется в разных областях физики. Она обладает необычными свойствами при отрицательных значениях аргумента. Нарисуйте ее график для области –5..5 и проверьте правильность чисел при положительных целых n. Посмотрите, как необычно она выглядит на отрицательной полуоси. Команда Maple: GAMMA(x);.

Функции полного эллиптического интеграла K(k) и E(k) определяются так:

   

Команды Maple: EllipticK(k) и EllipticE(k).

Обычно эти функции применяют для k в диапазоне 0..1, но можно аналитически продолжить на комплексную плоскость. Для k = 0 функции K(k) и E(k) равны π/2.

При k = 1 K(k) имеет логарифмическую сингулярность, а E(k) = 1. Нарисуйте на одном графике обе эти функции в упомянутом диапазоне при numpoints=200 и 1000. Посмотрите, насколько слаба логарифмическая сингулярность. Окажется, что при изменении numpoints почти ничего не изменяется, кроме вертикального диапазона (немного). Чтобы понять причину и то, что такое поведение означает слабую сингулярность, сравните с сильной сингулярностью на паре графиков (обратите внимание на числа на оси у):

• plot(1/(1-x),x=0..1,numpoints=200);
• plot(1/(1-x),x=0..1,numpoints=1000);

Это функция из теории вероятностей. Обозначается erf(x), команда erf(x).

Гауссово распределение вероятности пропорционально и вероятность того, что переменная x находится между –∞ и z, пропорциональна:

что есть в точности функция ошибок erf(z).

Но по ряду причин решено, что базовую функцию erf следует определить как интеграл от 0, а не от –∞ , поэтому:

Вероятность того, что гауссова переменная находится между –∞ и z, дается формулой

Нарисуйте графики erf(x) и (1 + erf(x))/2 в диапазоне –3..3.