Maple может решать системы линейных и нелинейных уравнений, но это хитрое дело, поскольку, чтобы разобраться в происходящем, надо рисовать уравнения, а это сложнее, так как пространство решений – многомерное.

Применяются команды solve и fsolve, но в этом случае им задаются наборы (в фигурных скобках) уравнений и переменных.

В первом примере используем solve для простой задачи линейной алгебры: John вдвое старше Kimberly. Возраст Kimberly плюс возраст John равен 27. Найти возраст каждого. Если использовать пакет LinearAlgebra, то придется рассматривать матрицу, но можно применить solve (и fsolve), которые могут непосредственно работать с уравнениями:

• restart;
• E1:=J=2*K;E2:=K+J=27;
• solve({E1,E2},{J,K});
• fsolve({E1,E2},{J,K});

Поскольку не надо беспокоиться о переводе в матричный вид, то получился иной метод решения систем линейных уравнений.

solve и fsolve можно применять для решения нелинейных систем, т. е. систем уравнений, в которых переменные – квадраты, кубы, синусы, экспоненты и т. п. Например, вот система двух нелинейных уравнений:

• restart;
• E1:=x^2-y=5;E2:=x-y^2=-13;

Вначале попробуем применить команду solve:

• s:=solve({E1,E2},{x,y});

Maple сделал по-умному: чтобы получить уравнение для х, он исключил у из Е2 с помощью Е1. Затем он факторизовал это квадратное уравнение, выдал ответ (x,y)=(3,4) и свел оставшуюся часть задачи к кубической. Если завершить задачу командой evalf, получим:

• evalf(s);

Но если нарисовать кубическую часть в RootOf (для оценки положения корней), то увидите, что есть еще два решения. Где же они? Примените fsolve и получите:

• s:=fsolve({E1,E2},{x,y});

что еще хуже, так как дает один корень. Для поиска корней можно задавать примерно правильные числа в качестве подсказок для fsolve:

• s:=fsolve({E1,E2},{x=2.9,y=4.1});

Простой способ заставить Maple дать все 4 корня: повторяйте процедуру, заменяя все целые числа на числа с плавающей точкой:

• restart;
• E1:=x^2.-y=5.;E2:=x-y^2.=-13.;
• s:=solve({E1,E2},{x,y});

Будьте изобретательны
и пробуйте разные пути решения задачи,
возможно, один сработает.

В Maple есть другой полезный инструмент для случая двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Точно так же, как в задачах с одной переменной, полезно сначала строить график, чтобы увидеть, где есть решения. В данном случае двумерные графики помогут искать корни двух неизвестных величин. Примените команду построения графиков implicitplot, которая берет уравнение с двумя переменными, вроде x2 – y = 5, и строит определяющую их кривую в плоскости xy (для добавления команды графики надо вначале загрузить пакет графики with(plots)):

• with(plots):
• implicitplot(x^2-y=5,x=-3..3,y=-6..3);

Для графического поиска решений постройте оба уравнения на одном графике и посмотрите, где две кривые пересекают друг друга.

• implicitplot({x^2-y=5,x-y^2=-13},x=-14..4,y=-6..5,
  numpoints=5000);

Из картинки ясно, что две параболы пересекаются в четырех местах, поэтому должно быть четыре решения. Окно графика должно быть достаточным, чтобы увидеть всю картинку. А если оно мало, то получится вот что:

• implicitplot({x^2-y=5,x-y^2=-13},x=-3..3,y=-5..3,
  numpoints=5000);

Если у вас есть три нелинейных уравнения с тремя переменными, implicitplot3d может сделать нечто подобное (см. Maple help).

Найдите все решения (Re и Im) системы уравнений

Чтобы определить количество искомых корней, сначала постройте график с помощью implicitplot.

Вот еще нелинейная система:

• restart;
• E1:=cos(x)+y-sqrt(z)=-.191748502;E2:=x*y*z=3;E3:=x+y+2*z=8;

Вначале попробуем solve:

• solve({E1,E2,E3},{x,y,z});

(Maple на мгновение задумается, но ничего не произойдет.) Теперь попробуем fsolve с диапазонами для каждой переменной:

• fsolve({E1,E2,E3},{x,y,z},{x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3});

Похоже, что (x, y, z) = (1, 1, 3) достаточно близко к решению. Предупреждение: в трех и более измерениях Maple может ошибиться и работать, несмотря на то, что:

(a) известно, что здесь есть решение и

(b) указано, где искать приближенное значение корня.

Для лучшего понимания, где следует искать решение, можно применить implicitplot3d:

• with(plots):
• implicitplot3d({E1,E2,E3},x=-5..5,y=-5..5,z=0..5);

Щелкните на рисунке и покрутите его, чтобы разглядеть подробнее. После этого перерисуйте график так, чтобы он был вблизи известного решения: [x, y, z]=[1, 1, 3]:

• implicitplot3d({E1,E2,E3},x=.5..1.5,y=.5..1.5,z=2.5..3.5,
  grid=[20,20,20]);

В середине графика все три поверхности – E1, E2 и E3 – пересекаются в точке. Это и есть то, что искали с помощью implicitplot3d, но в целом рассматривать трехмерные задачи сложно.

Пусть гладкая функция y(x) представлена тремя точками (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предположим, что эти точки определяют параболу вида y(x) = a + bx + cx2 и что есть три аппроксимирующих уравнения для нахождения коэффициентов параболы a, b, c. Постройте эти три уравнения и используйте solve, чтобы найти формулы для a, b, c, а затем определите выражение Maple для параболы.

Задание выглядит вполне приемлемо для равноотстоящих точек. Пусть x2 = x1 + h и x3 = x1 + 2h. Упростим выражения для a, b, c. В результате получили приближенную форму функции, с которой можно работать:

(a) Оцените площадь под кривой между x1 и x3 путем интегрирования параболы между этими двумя пределами. Получится правило Симпсона. Чтобы посмотреть, хорош ли этот приближенный интеграл, задайте x1 = 0, x2 = 0.5, x3 = 1.0 и y1 = cos(x1), y2 = cos(x2), y3 = cos(x3), при этом приближенное значение площади будет близко к Дает ли формула приближенного интегрирования хороший результат?

(b) Оцените производную функции у(х) в средней точке х2 путем дифференцирования параболы и вычисления значения производной в x = x2. Она называется формулой центральных разностей для первой производной. Проверьте ее точность при x2 = 0.5, используя x1 = 0.4 и x3 = 0.6 с функцией

(c) Повторно дифференцируя формулу параболы, оцените вторую производную функции у(х) в x2. Это центральная вторая производная для равноотстоящих точек. Проверьте ее точность, как в части (b).

Эти формулы дифференцирования и интегрирования понадобятся в курсе физики.